Das dritte KEPLERsche Gesetz lieferte den Schlüssel für Aussagen über die Ausdehnung unseres Planetensystems. Während man die Umlaufzeiten der Planeten relativ einfach messen konnte, war die Angabe der absoluten Länge einer großen Halbachse im System schwierig. Aber mit Kenntnis der Umlaufzeiten zweier Planeten und der Länge der großen Halbachse eines Planeten, kann die Länge der Halbachse des anderer Planeten durch das dritte KEPLERsche Gesetz bestimmt werden. Aus\[\frac{{{T_1}^2}}{{{a_1}^3}} = \frac{{{T_2}^2}}{{{a_2}^3}}\]erhält man durch Umformen\[\frac{{{T_1}^2}}{{{a_1}^3}} = \frac{{{T_2}^2}}{{{a_2}^3}} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}^3}}{{{T_1}^2}} = \frac{{{a_2}^3}}{{{T_2}^2}} \Leftrightarrow {a_2}^3 = {a_1}^3 \cdot \frac{{{T_2}^2}}{{{T_1}^2}} \]\[\Rightarrow {a_2} = \sqrt[3]{{{a_1}^3 \cdot \frac{{{T_2}^2}}{{{T_1}^2}}}} = {a_1} \cdot \sqrt[3]{{\frac{{{T_2}^2}}{{{T_1}^2}}}}\]Damit lässt sich bei Kenntnis von \({T_1}\), \({T_1}\) und \({a_1}\) der Wert von \({a_2}\) berechnen.
Aufgabe
Bestimme die Entfernung der Erde zum Mars in Oppositions- und in Konjuktionsstellung aus \(a_{\rm{Erde}}=1\,\rm{AE}\) und \({T_{{\rm{Mars}}}} = 1{,}88\,{\rm{a}}\).