Bei den Aufgaben zur Dichte lässt sich das Volumen mancher (sehr einfacher) Körper rechnerisch ermitteln. Im Folgenden sind die Formeln für einige wichtige Umfangs-, Flächen- und Volumenberechnungen angegeben.
Formeln für Umfang und Flächeninhalt von Figuren
Quadrat mit Seitenlänge \(a\)
\[\begin{aligned}\text{Umfang :}&\enspace \, u_{\mathrm{Q}} = 4 \cdot a \\\text{Flächeninhalt :}&\enspace A_{\mathrm{Q}} = a^2\end{aligned}\]
Rechteck mit Seitenlängen \(a\) und \(b\)
\[\begin{aligned} \text{Umfang :}& \enspace \, u_{\mathrm{R}} = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot (a + b) \\ \text{Flächeninhalt :}& \enspace A_{\mathrm{R}} = a \cdot b \end{aligned}\]
Dreieck mit Grundseitenlänge \(g\) und Höhe \(h\)
\[\text{Flächeninhalt :} \enspace A_{\rm{D}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\]
Kreis mit Radius \(r\)
\[\left. \begin{aligned} {\text{Umfang :}}& \enspace \, u_{\rm{K}} = 2 \cdot \pi \cdot r \\ {\rm{Flächeninhalt:}}& \enspace A_{\rm{K}} = \pi \cdot {r^2} \end{aligned} \right\} {\rm{mit}}\;\pi \approx 3,14 \]
Beispiele für die Umrechnung von Flächeneinheiten
Beachte, dass die Umrechnungszahl von einer Flächeneinheit zur benachbarten \(100\) ist.
\[\begin{aligned} 1\,{\rm{cm}}^2 &= 100\,{\rm{mm}}^2 & 1\,{\rm{mm}}^2 &= \frac{1}{100}\,{\rm{cm}}^2 \\ 1\,{\rm{dm}}^2 &= 100\,{\rm{cm}}^2 & 1\,{\rm{cm}}^2 &= \frac{1}{100}\,{\rm{dm}}^2 \\ 1\,{\rm{m}}^2 &= 100\,{\rm{dm}}^2 & 1\,{\rm{dm}}^2 &= \frac{1}{100}\,{\rm{m}}^2 \end{aligned} \]
Formeln für Oberflächeninhalt und Volumen von Körpern
Würfel mit Kantenlänge \(a\)
\[\begin{aligned} {\text{Oberfläche :}}& \enspace O_{\rm{W}} = 6 \cdot {a^2} \\ {\text{Volumen :}}& \enspace \, V_{\rm{W}} = {a^3} \end{aligned}\]
Quader mit Kantenlängen \(a\), \(b\) und \(c\)
\[\begin{aligned} \text{ Oberfläche :}&\enspace O_{\rm{Q}} = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c = 2 \cdot \left( a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c \right) \\ \text{ Volumen :}& \enspace \, V_{\rm{Q}} = a \cdot b \cdot c \end{aligned}\]
Kreiszylinder mit Radius \(r\) und Höhe \(h\)
\[\left. \begin{aligned} \text{Oberfläche :}&\enspace O_{\rm{Z}} = 2 \cdot \pi \cdot {r^2} + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \left( r + h \right) \\ \text{Volumen :}&\enspace V_{\rm{Z}} = \pi \cdot {r^2} \cdot h \end{aligned} \right\} \text{mit}\enspace \pi \approx 3,14\]
Kugel mit Radius \(r\)
\[\left. \begin{aligned} \text{Oberfläche :}& \enspace O_{\rm{K}} = 4 \cdot \pi \cdot {r^2} \\ \text{Volumen :}& \enspace \;V_{\rm{K}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \end{aligned} \right\} \text{mit}\enspace \pi \approx 3,14\]
Beispiele für die Umrechnung von Volumeneinheiten
Beachte, dass die Umrechnungszahl von einer Volumeneinheit zur benachbarten \(1000\) ist.
\[\begin{aligned} 1\,{\rm{cm}}^3 &= 1000\,{\rm{mm}}^3 & 1\,{\rm{mm}}^3 &= \frac{1}{1000}\,{\rm{cm}}^3 \\ 1\,{\rm{dm}}^3 &= 1000\,{\rm{cm}}^3 & 1\,{\rm{cm}}^3 &= \frac{1}{1000}\,{\rm{dm}}^3 \\ 1\,{\rm{m}}^3 &= 1000\,{\rm{dm}}^3 & 1\,{\rm{dm}}^3 &= \frac{1}{1000}\,{\rm{m}}^3 \end{aligned}\]