Messwerte und Diagramm
Ein Diagramm wird häufig auf Basis von experimentell ermittelten Messwerten erstellt. Tab. 1 zeigt beispielhaft die Messwerte eines Experimentes in der ein Rennradfahrer möglichst gleichmäßig gefahren ist und die zurückgelegte Strecke \(\Delta x\) zu verschiedenen Zeitpunkten \(t\) notiert wurde.
\(t\text{ in s}\) | 0,0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
---|---|---|---|---|---|---|
\(\Delta x\text{ in m}\) | 0,0 | 90 | 180 | 270 | 350 | 455 |
Hieraus kannst du ein zugehöriges Diagramm wie z.B. in Abb. 1 das \(t\)-\(\Delta x\)-Diagramm erstellen (zum Vorgehen siehe Erstellen von Diagrammen).
Ausgleichsgerade
Um weitere Wertepaare zwischen den Messpunkten ermitteln oder auf eine Gesetzmäßigkeit zwischen den dargestellten Größen schließen zu können, ist es sinnvoll aus den einzelnen Messpunkte einen Graphen zu machen. Dabei werden jedoch die einzelnen Punkte nicht einfach mit Strecken verbunden. Die sich ergebende Zick-Zack-Kurve würdest du bei einer erneuten Messung nicht wieder erhalten, da alle Messwerte mit einem Messfehler behaftet sind.
Erkennst du, dass sie Messpunkte wie im Beispiel in Abb. 1 ungefähr eine Gerade bilden, so zeichnest du eine sog. Ausgleichsgerade ein (vgl. Abb. 2). Die Ausgleichsgerade führt möglichst nahe an allen Messpunkten vorbei und gleicht die Abweichungen nach oben und nach unten möglichst gut aus. Dabei müssen aber nicht genau gleich viele Messpunkte oberhalb und unterhalb der Geraden liegen. Wenn Messpunkte so liegen, dass eine Ausgleichsgerade sinnvoll ist, so besteht zwischen den beiden aufgetragenen Größen eine direkte Proportionalität.
Hinweis: Gehört der Punkt \(\left( 0|0\right)\) zu der Messreihe, so hat dieser in der Regel keinen Messfehler. Die Ausgleichsgerade sollte daher exakt durch diesen Punkt verlaufen bzw. hier starten.
Interpolieren von Werten
Mit Hilfe der Ausgleichsgeraden kannst du weitere Wertepaare zwischen den aufgenommenen Messwerten ermitteln: Du kannst also auch für Zeitpunkte \(t\), zu denen keine Streckenmessung vorgenommen wurde, ermitteln, welche Strecke \(\Delta x\) zurückgelegt wurde. Dies nennt man das Interpolieren von Werten (siehe Abb. 3).
Möchtest du z.B. wissen, welche Strecke der Radfahrer nach \(t=35\,\rm{s}\) zurückgelegt hat, gehst du zunächst auf der Rechtsachse bis zur gegebenen Zeit. Von hier gehst du senkrecht nach oben, bis du auf die Ausgleichsgerade triffst (grüne Linie 1). Nun gehst du waagerecht weiter nach links bis zur Hochachse (grüne Linie 2). Hier kannst du nun die zurückgelegte Strecke ablesen. Nach \(t=35\,\rm{s}\) hat der Radfahrer also etwa \(\Delta x= 310\,\rm{m}\) zurückgelegt. Oft ist es hilfreich die Hilfslinien 1 und 2 auch einzuzeichnen.
Auch umgekehrt kannst du arbeiten: Wenn du wissen willst, wie lange der Radfahrer braucht, um \(150\,\rm{m}\) zurückzulegen, gehst du zuerst auch der Hochachse bis zum gegebenen Wert. Nun gehst du waagerecht nach rechts, bis du auf die Ausgleichsgerade triffst (blaue Linie 1). Von hier gehst du senkrecht nach unten bis zur Rechtsachse, wo du den gesuchten Wert, hier also \(17\,\rm{s}\), ablesen kannst (blaue Linie 2).
Natürlich kannst du hier auch die Steigung der Ausgleichsgeraden und damit die Proportionalitätskonstante \(C\) des direkt proportionalen Zusammenhangs bestimmen. Mit der Gleichung \(y=C\cdot x\) kannst du dann auch beliebige weitere Werte berechnen.
Andere Diagrammverläufe
Natürlich führt nicht jeder grafisch darzustellende Zusammenhang zu einer Geraden. Tab. 2 zeigt wieder beispielhaft die Messwerte eines Experimentes, in dem die zurückgelegte Strecke eines Objektes zu verschiedenen Zeiten gemessen wurde.
\(t\text{ in s}\) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\Delta x\text{ in m}\) | 0,0 | 25 | 100 | 225 | 400 | 625 | 900 |
Hieraus kannst du ein zugehöriges Diagramm wie z.B. in Abb. 4 das \(t\)-\(\Delta x\)-Diagramm erstellen (zum Vorgehen siehe Erstellen von Diagrammen). Es wird deutlich, dass hier eine Ausgleichsgerade (gestrichelte schwarze Linie) nicht sinnvoll ist. Du musst stattdessen eine Ausgleichskurve durch die Messpunkte zeichnen. Mit Hilfe dieser Ausgleichskurve kannst du wiederum beliebige Zwischenwerte interpolieren. So hat das Objekt nach \(t=55\,\rm{s}\) etwa \(\Delta x=750\,\rm{m}\) zurückgelegt (vgl. Abb. 4).
Extrapolation von Werten
Eine Ermittlung von Werten, die deutlich über den Bereich der Messwerte hinaus geht, ist in der Regel nicht zulässig. Du darfst daher die Ausgleichskurve im Messwertdiagramm nur ein kleines Stück über die aufgenommenen Messpunkte hinaus zeichnen, aber nicht beliebig verlängern,
Verständnisaufgabe
Aufgabe
Aus den Messwerten einer Versuchsreihe wurde das in Abb. 5 gezeigte Messwertdiagramm erstellt.
Markiere alle zutreffenden Aussagen.