Produktgleichungen
Wiederholt tauchen in der Physik Gleichungen des Typs\[a \cdot b = c \cdot d\]So lautet z.B. beim Hebel die Beziehung zwischen den Hebelarmen \(a_1\) und \(a_2\) sowie den Beträgen \(F_1\) und \(F_2\) der angreifenden Kräfte\[a_1 \cdot F_1 = a_2 \cdot F_2\]Man bezeichnet solche Gleichungen als Produktgleichungen.
Meist sind bei der obigen Gleichung drei Größen bekannt (z.B. \(b\), \(c\) und \(d\)) und die vierte Größe (z.B. \(a\)) ist gesucht. Bei Rechenaufgaben musst du sicher nach der gesuchten Größe auflösen können. Das Auswendiglernen von Lösungsformeln solltest du gar nicht erst versuchen.
In der Animation in Abb. 1 ist das schrittweise Auflösen einer Produktgleichung der Form \(a \cdot b = c \cdot d\) nach den vier in der Gleichung auftretenden Größen dargestellt.
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{b}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{b}}\) im Nenner steht.
\[\frac{\color{Red}{{a}} \cdot {{b}}}{{{b}}} = \frac{{{c}} \cdot {{d}}}{{{b}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{a}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{b}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{a}} \cdot \color{Red}{{b}}}{{{a}}} = \frac{{{c}} \cdot {{d}}}{{{a}}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[\color{Red}{{c}} \cdot {{d}} = {{a}} \cdot {{b}}\]
\[\frac{\color{Red}{{c}} \cdot {{d}}}{{{d}}} = \frac{{{a}} \cdot {{b}}}{{{d}}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{c}} \cdot \color{Red}{{d}} = {{a}} \cdot {{b}}\]
\[\frac{{{c}} \cdot \color{Red}{{d}}}{{{c}}} = \frac{{{a}} \cdot {{b}}}{{{c}}}\]
Quotienten- oder Verhältnisgleichungen
Wiederholt tauchen in der Physik Gleichungen des Typs\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]So hat z.B. auch bei der Lochkamera die Beziehung zwischen Bildgröße \(B\), Gegenstandsgröße \(G\), Bildweite \(b\) und Gegenstandsweite \(g\) das folgende Aussehen:\[\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\]Man bezeichnet Gleichungen, bei denen die Variablen auch im Nenner eines Bruches auftreten können als Bruchgleichungen (zur Erinnerung: den Ausdruck oberhalb des Bruchstrichs bezeichnet man als Zähler, den unterhalb des Bruchstrichs als Nenner). Die oben dargestellten Gleichungen sind besonders einfache Typen von Bruchgleichungen, sogenannten Quotienten- oder Verhältnisgleichungen.
In der Physik besteht kaum die Gefahr, dass die Nenner bei obigen Brüchen zu Null werden, also brauchen wir uns über die Definitionsmenge keine Gedanken machen.
Meist sind bei der obigen Gleichung drei Größen bekannt (z.B. \(b\), \(c\) und \(d\)) und die vierte Größe (z.B. \(a\)) ist gesucht. Bei Rechenaufgaben musst du sicher nach der gesuchten Größe auflösen können. Das Auswendiglernen von Lösungsformeln solltest du gar nicht erst versuchen.
In der Animation in Abb. 2 ist das schrittweise Auflösen einer Quotientengleichung der Form \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nach den vier in der Gleichung auftretenden Größen dargestellt.
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{b}}\). Schreibe das \({{b}}\) auf beiden Seiten der Gleichung direkt als Zähler in die Brüche.\[\frac{\color{Red}{{a}} \cdot {{b}}}{{{b}}} = \frac{{{c}} \cdot {{b}}}{{{d}}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\frac{\color{Red}{{b}}}{{{a}}} = \frac{{{d}}}{{{c}}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{\color{Red}{{c}}}{{{d}}} = \frac{{{a}}}{{{b}}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{{{c}}}{\color{Red}{{d}}} = \frac{{{a}}}{{{b}}}\]
Stammbruchgleichungen
Wiederholt tauchen in der Physik Gleichungen des Typs\[\frac{1}{{{a}}} = \frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{{{c}}}\]So lautet z.B. bei der Linsenabbildung der Zusammenhang zwischen Brennweite \(f\), Bildweite \(b\) und Gegenstandsweite \(g\)\[\frac{1}{{{f}}} = \frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{{{g}}}\]Man bezeichnet Gleichungen, bei denen die Variablen auch im Nenner eines Bruches auftreten können als Bruchgleichungen (zur Erinnerung: den Ausdruck oberhalb des Bruchstrichs bezeichnet man als Zähler, den unterhalb des Bruchstrichs als Nenner). Die oben dargestellten Gleichungen sind besonders einfache Typen von Bruchgleichungen, sogenannte Stammbruchgleichungen.
In der Physik besteht kaum die Gefahr, dass die Nenner bei obigen Brüchen zu Null werden, also brauchen wir uns über die Definitionsmenge keine Gedanken machen.
Meist sind bei der obigen Gleichung zwei Größen bekannt (z.B. \(b\) und \(c\)) und die dritte Größe (z.B. \(a\)) ist gesucht. Bei Rechenaufgaben musst du sicher nach der gesuchten Größe auflösen können. Das Auswendiglernen von Lösungsformeln solltest du gar nicht erst versuchen.
In der Animation in Abb. 3 ist das schrittweise Auflösen einer Stammbruchgleichung der Form \(\frac{1}{{{a}}} = \frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{{{c}}}\) nach den drei in der Gleichung auftretenden Größen dargestellt.
Addiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler addierst.\[\frac{1}{\color{Red}{{a}}} = \frac{{{c}}}{{{b}} \cdot {{c}}} + \frac{{{b}}}{{{c}}\cdot {{b}}} = \frac{{{c}}+{{b}}}{{{b}}\cdot {{c}}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{1}{\color{Red}{{b}}} + \frac{1}{{{c}}} = \frac{1}{{{a}}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{\color{Red}{{c}}} = \frac{1}{{{a}}}\]